Logic: The Basics

Just what I expected. Excellent

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本書は，意味論（あるいはモデル論）の立場からある程度厳密かつ明快に現代論理学を手際よく概観している好著だと思います．大まかに言いますと，妥当な論証（＝論理的帰結）の定義をし，論理を語る道具として集合論の基本を復習してから，■命題論理，■述語論理，■拡張論理の三つのテーマに従って，本書は展開されているようです．私が理解できた（と思えた）のは命題論理のところだったので，そこのところを少し記してみたいと思います．この命題論理のところでは，二値論理としての古典命題論理bcと三値論理としてクリーネの三値論理K3，四値論理としてFDE（First Degree Entailment）が論じられています．二値論理としてのbcは，■どんな命題も真か偽かである（これを「命題の真偽の解釈の完全性」と呼ぶことにします）という条件と■どんな命題も真かつ偽であることはない（これを「命題の真偽の解釈の無矛盾性（または整合性）」と呼ぶことにします）という条件を満たしています（二値原理）．したがって，古典論理bcは，真理値として真と偽の2値のみを認めます．三値論理としてのK3は，命題の真偽の解釈が完全でなくなります．つまり，K3には，真でもなく偽でもない命題があります．真でもなく偽でもない真理値のことをギャップ（gap）と言います．したがって，K3は，真理値として真，偽，ギャップという三つの値を持ちます．だから，K3は三値論理なのです．四値論理としてのFDEは，命題の真偽の解釈が完全でなくなります．真，偽，ギャップの三つの真理値に加えて，第四の真理値を持ちます．それは，命題の真偽の解釈が矛盾するような真理値です．つまり，真かつ偽であるような真理値で，グラット（glut）と呼ばれます．こうして，FDEは，真，偽，ギャップ，グラットという四つの真理値を持ちますので，四値論理になります．さて，二値論理bc，三値論理K3，四値論理FDEには，論理的帰結に関しておもいろい相違があります．理由は，本書を読んでいただくことにして，その相違を表で示してみることにします．　A∨¬A ：排中律 ｜　bc=○　｜　K3=×　｜　FDE=×　｜　¬(A∧¬A) ：無矛盾律 ｜　bc=○　　｜　K3=×　｜　FDE=×　｜　A→B，A　∴B ：Modus Ponens ｜　bc=○　　｜　K3=○　｜　FDE=×　｜　A→B，¬B∴¬A：Modus Tollens ｜　bc=○　　｜　K3=○　｜　FDE=×　｜　A∨B，¬A∴B ：選言三段論法 ｜　bc=○　　｜　K3=○　｜　FDE=×　｜　A，¬A　∴B ：爆発原理 ｜　bc=○　　｜　K3=○　｜　FDE=×　｜　¬¬A　∴A ：二重否定律 ｜　bc=○　　｜　K3=○　｜　FDE=○　｜ここで，A,Bは命題を，「∨」は「または」，「∧」は「かつ」，「→」は「ならば」，「¬」は「ない」を示します．また，「S=○」は論理式または論証が論理Sにおいて妥当であることを，「S=×」は論理Sにおいて妥当でないことを表しています．上の表の排中律と無矛盾律からも分かるかもしれませんが，K3とFDEでは，bcで成り立っている論理的真理（別名，トートロジー）が一般に成り立ちません．FDEではModus Ponensが妥当にならないことから，有名なソライティーズ・パラドックスはFDEにおいては生じません．また，爆発原理が成り立たないような論理学のことを「矛盾許容論理(Paraconsistent Logic)」と言うそうですので，四値論理FDEは，矛盾許容論理になります．古典論理しか知らなかった私は，論理的真理（トートロジー）が存在しない論理学（実例がK3やFDE）があることを知って，かなり驚きました．『論理哲学論考』でトートロジーについて論じたウィトゲンシュタインがこのようなことを知ったら，どう思ったのでしょうか？英語で書かれていますが，論理学に興味のある人は，是非一読していただきたいと思います．

Met expectations.